Tenho artrite reumatoide e estou amamentando um bebê de 1 mês. Como tenho dores fortes e incapacitantes,

A princípio a hidroxicloroquina é segura durante a gestação e durante a fase de amamentação, não gerando riscos para o seu filho.
Se estiver em crise, é importante retornar ao seu médico para que ele reavalie o uso de outras medicações para o controle da doença.

Uma droga análoga, a cloroquina, é usada no tratamento e na profilaxia da malária há décadas em grávidas, nutrizes (mulheres que estão amamentando) e em crianças abaixo de 6 meses de idade. A longa experiência acumulada permite dizer que essa classe de drogas é bastante segura.

Seu médico tem razão, realmente passa pouco pelo leite. Só um médico familiarizado com seu caso pode saber se o tratamento é uma boa escolha. Se ele optou pelo remédio, deve ter considerado todos os fatores e decidido que essa era a melhor alternativa.
Os riscos na bula são reais, mas muito raros, assim como muitos outros remédios. É preciso considerar os riscos de não seguir com o tratamento também, para decidir se vale a pena.
Caso você não consiga amamentar, existem métodos alternativos de alimentação de bebês. Entretanto, nos primeiros meses a amamentação é extremamente positiva para o desenvolvimento da criança.