O diagnóstico psiquiátrico é o mesmo que o prognóstico psiquiátrico ?

Não são o mesmo! Essa terminologia médica se trata da seguinte maneira:
Diagnóstico psiquiátrico diz respeito a identificação de um transtorno mental e o Prognóstico psiquiátrico a respeito da previsão da evolução do quadro em questão.

Diagnóstico é o nome que se dá para o quadro que a pessoa apresenta (por exemplo, transtorno depressivo, transtorno de ansiedade, transtorno de pânico etc.). O diagnóstico é feito entrevistando e examinando o(a) paciente e, por vezes, familiares ou outras pessoas próximas. O prognóstico é a evolução esperada do quadro ou seja, como se espera que ele evolua ao ,longo do tempo, com ou sem tratamento.

Não, são conceitos completamente diferentes, embora frequentemente confundidos. Vou esclarecer:

Diagnóstico Psiquiátrico
É a identificação do transtorno atual:

Baseado em sintomas, histórico e avaliação clínica
Responde: "O que o paciente tem AGORA?"
Exemplos: Transtorno Depressivo Maior, Transtorno de Ansiedade Generalizada, TOC, Bipolaridade
É estático no momento da avaliação - você tem ou não tem o diagnóstico naquele instante.

Prognóstico Psiquiátrico
É a previsão sobre o curso futuro do transtorno:

Baseado em fatores clínicos, sociais e biológicos
Responde: "Como isso vai evoluir? Vai melhorar? Recidivar?"
Exemplos: "Bom prognóstico com tratamento", "Alto risco de recaída", "Cronicidade esperada"
É dinâmico e muda com o tempo e contexto.

Diferença prática
Aspecto Diagnóstico Prognóstico
Pergunta-chave O que tem? Como vai ficar?
Tempo Presente Futuro
Exemplo "Depressão Maior moderada" "Bom prognóstico com ISRS + terapia"
Muda? Não (durante o episódio) Sim (com tratamento, vida)
Exemplo concreto
Diagnóstico: Transtorno Depressivo Maior

Prognóstico: Pode ser:

Excelente (responde bem a medicação, bom suporte social, primeira crise)
Moderado (transtorno recorrente, comorbidades)
Reservado (resistente a medicações, fatores sociais adversos)