Uma pessoa com doença de Alzheimer pode agregar doença de parkinson?

Excelente pergunta. A princípio não, pois são doenças muito diferentes em seus mecanismos. O que causa muita confusão entre as pessoas, incluindo médicos não neurologistas, é que pode haver sintomas tipicamente vistos em uma delas aparecendo na outra. Por exemplo: uma pessoa com doença de Parkinson pode sofrer alterações de memória, e uma com doença de Alzheimer pode sofrer tremores. Mas nestes casos, os sintomas incomuns são originados pela mesma doença que a pessoa já tinha. Na dúvida, obtenha uma avaliação de neurologista clínico.

Pode ocorrer de um individuo ter uma Doença de Parkinson e evoluir com uma Síndrome demencial associada, causada pela própria evolução do Parkinson ou por outros inúmeros fatores, levando ao que chamamos de Síndrome demencial mista.
Pode ocorrer também o contrario, o paciente iniciar o quadro com uma Síndrome Demencial e evoluir com tremores e alterações na mobilidade mas que não necessariamente sejam decorrentes de uma Doença de Parkinson mas sim do próprio quadro demencial.
O ideal é que o paciente passe por uma avaliação de um especialista seja ele um geriatra ou um neurologista com experiência na area.

A Doença de Parkinson e um quadro demencial podem ter alguns sintomas em comum, porém, com causas diferentes.
Como dito pelo médicos especialistas, é necessário marcar uma consulta para investigar o início das queixas e sintomatologia atual para dar o melhor encaminhamento ao caso.